Tìm tất cả các giá trị của tham số m để tồn tại cặp số (x; y) thỏa mãn e^(3x + 5y) − e^(x + 3y + 1) = 1 − 2x − 2y, đồng thời thỏa mãn log cơ số 2/3 của (3x + 2y − 1) − (m + 6)log(3x) + m^2 +

19/40

Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\)để tồn tại cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({e^{3x + 5y}} - {e^{x + 3y + 1}} = 1 - 2x - 2y\), đồng thời thỏa mãn \(\log _3^2\left( {3x + 2y - 1} \right) - \left( {m + 6} \right){\log _3}x + {m^2} + 9 = 0\).

\(1 \le m \le 5\).

\(0 \le m \le 4\).

\( - 4 \le m \le 0\).

\(0 < m \le 4\).

Giải thích

Ta có \({e^{3x + 5y}} - {e^{x + 3y + 1}} = 1 - 2x - 2y\)\( \Leftrightarrow {e^{3x + 5y}} + \left( {3x + 5y} \right) = {e^{x + 3y + 1}} + x + 3y + 1\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {e^t} + t\) trên \(\mathbb{R}\).

Có \(f'\left( t \right) = {e^t} + 1 > 0,\forall t\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Do đó \({e^{3x + 5y}} + \left( {3x + 5y} \right) = {e^{x + 3y + 1}} + x + 3y + 1\)\( \Leftrightarrow f\left( {3x + 5y} \right) = f\left( {x + 3y + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow 3x + 5y = x + 3y + 1\)\( \Leftrightarrow 2y = 1 - 2x\).

Khi đó phương trình \(\log _3^2\left( {3x + 2y - 1} \right) - \left( {m + 6} \right){\log _3}x + {m^2} + 9 = 0\) trở thành

\(\log _3^2x - \left( {m + 6} \right){\log _3}x + {m^2} + 9 = 0\).

Coi phương trình trên là phương trình bậc hai ẩn là \({\log _3}x\).

Khi đó để phương trình có nghiệm thì \(\Delta \ge 0\)\( \Leftrightarrow - 3{m^2} + 12m \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le m \le 4\). Chọn B.