Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình: x^2−4x+m−1=0 có 2 nghiệm phân biệt x1;x2 thỏa mãn điều kiện

Ta có \(\Delta ' = 5 - m\).

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt \({x_1};{\rm{ }}{x_2}\) \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow 5 - m > 0 \Leftrightarrow m < 5\)(1).

Áp dụng định lí Viète, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4\\{x_1}{x_2} = m - 1\end{array} \right.\) (3).

Do \({x_1}\) là nghiệm phương trình nên \(x_1^2 - 4{x_1} + m - 1 = 0 \Rightarrow x_1^2 = 4{x_1} - m + 1\).

Theo giả thiết \(2x_1^2 + x_2^2 + 4{x_2} + 4{x_1}{x_2} = 19\)

\({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + x_1^2 + 4{x_2} + 2{x_1}{x_2} = 19\).

Suy ra \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 4({x_1} + {x_2}) - m + 1 + 2{x_1}{x_2} = 19\) (2).

Thay (3) vào (2) ta được: \({4^2} + 4.4 - m + 1 + 2(m - 1) = 19 \Leftrightarrow m = - 12\) (thoả mãn (1) ).

Vậy \(m = - 12\) là giá trị cần tìm.