Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình sau có nghiệm

Ta có: \(\sqrt {2{x^2} + x + 1}  = \sqrt {{x^2} + mx + m - 1}  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2} + x + 1 \ge 0}\\{2{x^2} + x + 1 = {x^2} + mx + m - 1}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}2{x^2} + x + 1 \ge 0\\{x^2} + (1 - m)x + 2 = 0\quad (*)\end{array}\end{array}} \right.\)

Dễ thấy \(2{x^2} + x + 1 = 2{\left( {x + \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{7}{8} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

Do đó phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình \((*)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta  = {(1 - m)^2} - 4(2 - m) \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 7 \ge 0\)

\( \Leftrightarrow m \ge  - 1 + 2\sqrt 2 {\rm{ }} \vee {\rm{ }}m \le  - 1 - 2\sqrt 2 {\rm{. }}\)

Vậy phương trình có nghiệm khi \(m \in ( - \infty ; - 1 - 2\sqrt 2 ] \cup [ - 1 + 2\sqrt 2 ; + \infty )\).