Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình: căn bậc hai {2{x^2} + mx + 5} - x = 3\) có đúng một nghiệm.

Ta có \(\sqrt {2{x^2} + mx + 5}  - x = 3\) (1) \( \Leftrightarrow \sqrt {2{x^2} + mx + 5}  = x + 3\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge  - 3}\\{2{x^2} + mx + 5 = {{(x + 3)}^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge  - 3}\\{{x^2} + (m - 6)x - 4 = 0}\end{array}} \right.} \right.\)

Vì phương trình (2) có \(a.c =  - 4 < 0\) nên luôn có hai nghiệm \({x_1} < 0 < {x_2}\).

Vì \({x_2} \ge  - 3\) nên \({x_2}\) là một nghiệm của (1). Do đó để (1) có nghiệm duy nhất thì \({x_1} <  - 3 \Leftrightarrow \frac{{ - m + 6 - \sqrt \Delta  }}{2} <  - 3 \Leftrightarrow \sqrt \Delta   > 12 - m\). \( \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} - 12m + 52}  > 12 - m \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{12 - m < 0}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{12 - m \ge 0}\\{{m^2} - 12m + 52 > {{(12 - m)}^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 12}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 12}\\{m > \frac{{23}}{3}}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow m > \frac{{23}}{3}.} \right.} \right.}\end{array}} \right.\)