Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

29/235

Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - \left( {3m + 6} \right){x^2} + \left( {3{m^2} + 12m} \right)x + 1\) nghịch biến trên đoạn \[\left[ {1\,;\,\,3} \right].\]

\(0 \le m \le 1.\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge 1}\\{m \le 0}\end{array}} \right..\)

\( - 1 \le m \le 1.\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge 1}\\{m \le - 1}\end{array}} \right..\)

Giải thích

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6\left( {m + 2} \right)x + 3\left( {{m^2} + 4m} \right) = 3\left( {x - m} \right)\left( {x - m - 4} \right)\,;\)\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = m}\\{x = m + 4}\end{array}.} \right.\)

Do đó phương trình \(y' = 0\) luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Bảng biến thiên:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (ảnh 1)

Để hàm số nghịch biến trên \[\left[ {1\,;\,\,3} \right]\] thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 1}\\{m + 4 \ge 3}\end{array} \Leftrightarrow - 1 \le m \le 1} \right..\) Chọn C.