Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = (x^3) + 2(x^2) + (m - 3)x + m có hai điểm cực trị và điểm M (9;- 5) nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị.

8/35

Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 2{x^2} + \left( {m - 3} \right)x + m\) có hai điểm cực trị và điểm \(M\left( {9;\, - 5} \right)\) nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị.

\[m = - 10\].

\[m = 10\].

\[m = 2\].

\[m = 3\].

Giải thích

Lời giải

Ta có \(y' = 3{x^2} + 4x + m - 3\), để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0\)\( \Leftrightarrow m < \frac{{13}}{3}\left( * \right)\).

Ta có \(y = y' \cdot \left( {\frac{1}{3}x + \frac{2}{9}} \right) + \left( {\frac{{2m}}{3} - \frac{{26}}{9}} \right)x + \frac{{7m}}{9} + \frac{2}{3}\) nên phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là \(y = \left( {\frac{{2m}}{3} - \frac{{26}}{9}} \right)x + \frac{{7m}}{9} + \frac{2}{3}.\) Theo giả thiết, đường thẳng này đi qua \(M\left( {9;\, - 5} \right)\)nên \(m = 3\) (thỏa mãn điều kiện \[\left( * \right)\]). Chọn D.