Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình \({x^2} - 5x + 3m + 1 = 0\)

Phương trình có hai nghiệm \({x_1},\;{x_2}\) Khi \(\Delta = {5^2} - 4\left( {3m + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow 21 - 12m > 0\)

                                                       \( \Leftrightarrow m < \frac{7}{4}\)

Theo Vi-ét ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 5}\\{{x_1}{x_2} = 3m + 1}\end{array}} \right.\)

Ta có: \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} = \sqrt {{5^2} - 4\left( {3m + 1} \right)} = \sqrt {21 - 12m} .\)

Theo yêu cầu đề bài: \(\left| {x_1^2 - x_2^2} \right| = \left| {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1} - {x_2}} \right)} \right|\)

           \( = \left| {5\left( {{x_1} - {x_2}} \right)} \right| = 5\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 5\sqrt {21 - 12m} \)

Suy ra \(\left| {x_1^2 - x_2^2} \right| = 15 \Leftrightarrow 5\sqrt {21 - 12m} = 15 \Leftrightarrow \sqrt {21 - 12m} = 3\)

\( \Leftrightarrow 21 - 12m = 9 \Leftrightarrow 12m = 12 \Leftrightarrow m = 1\) (nhận). Vậy \(m = 1\) là giá trị cần tìm.