Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình \((x + 1)(x - 3) + \căn bậc hai {8 + 2x - {x^2}} = 2m\) có nghiệm.
Giải thích
Điều kiện \( - 2 \le x \le 4\).
Đặt \(t = \sqrt {8 + 2x - {x^2}} = \sqrt {9 - {{(x - 1)}^2}} \le 3 \Rightarrow t \in [0;3]\).
Phương trình đã cho trở thành \( - {t^2} + t + 5 = 2m(1)\).
Phương trình đã cho có nghiệm khi (1) có nghiệm \(t \in [0;3]\).
Xét hàm số \(f(t) = - {t^2} + t + 5\) trên đoạn \([0;3]\).
Bảng biến thiên:
Phương trình \(f(t) = 2m\) có nghiệm khi \( - 1 \le 2m \le \frac{{21}}{4} \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \le m \le \frac{{21}}{8}\)
Vậy \( - \frac{1}{2} \le m \le \frac{{21}}{8}\).