Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình ( 1 ) có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn: ( x 2 1 + m x 1 − m ) ( 2 x 2 + 3 ) = 5.

2) Xét phương trình \({x^2} + \left( {m - 2} \right)x - m - 3 = 0\) (1)

Phương trình (1) có \[\Delta = {\left( {m - 2} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - m - 3} \right) = {m^2} - 4m + 4 + 4m + 12 = {m^2} + 16 > 0\]với mọi \(m \in \mathbb{R}.\)

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1};\,\,{x_2}\) với mọi \(m \in \mathbb{R}.\)

Áp dụng hệ thức Viète, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2 - m\,\,\,\,\left( 2 \right)\\{x_1}{x_2} = - m - 3\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Vì \({x_1}\) là nghiệm của phương trình (1) nên ta có:

\({x_1}^2 + \left( {m - 2} \right){x_1} - m - 3 = 0\)

 \(x_1^2 + m{x_1} - m = 2{x_1} + 3\)

Thay vào biểu thức \(\left( {x_1^2 + m{x_1} - m} \right)\left( {2{x_2} + 3} \right) = 5,\) ta được:

\(\left( {2{x_1} + 3} \right)\left( {2{x_2} + 3} \right) = 5\)

\(4{x_1}{x_2} + 6\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 = 0\)

\(4\left( { - m - 3} \right) + 6\left( {2 - m} \right) + 4 = 0\) (do (2) và (3))

\( - 4m - 12 + 12 - 6m + 4 = 0\)

\( - 10m =  - 4\)

\(m = \frac{2}{5}\)

Vậy \(m = \frac{2}{5}\) là giá trị cần tìm.