Tìm tất cả các cặp số nguyên(x;y) thỏa mãn:

\[\begin{array}{l}{x^4} - 6{x^3} + 18{x^2} - {y^2} - 32x + 4y + 20 = 0\\ \Leftrightarrow {x^4} - 6{x^3} + 18{x^2} - 32x + 24 = {y^2} - 4y + 4\\ \Leftrightarrow {(x - 2)^2}({x^2} - 2x + 6) = {(y - 2)^2}\end{array}\]

Với \(y = 2 \Rightarrow x = 2\)

Với \(y \ne 2\) ta có (y – 2)2 và (x – 2)2 là số chính phương khác 0 nên \[{x^2} - 2x + 6\] là số chính phương.

Đặt \[{x^2} - 2x + 6 = {m^2}\]\[(m \in {N^*})\]

\[\begin{array}{l}{(x - 1)^2} + 5 = {m^2}\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1 - m} \right)\left( {x - 1 + m} \right) =  - 5\end{array}\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 1 + m = 5\\x - 1 - m =  - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 1 + m = 1\\x - 1 - m =  - 5\end{array} \right.\end{array} \right.\left( {x - 1 + m > x - 1 - m} \right)\\{\rm{ <  =  > }}\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\m = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\m = 3\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\]

· x = 3 ⇒ (y – 2)2 = 9 ⇒ y = 5 hoặc y = –1

· x = –1 ⇒ (y – 2)2 = 81 ⇒ y = 11 hoặc y = –7

Vậy các bộ (x; y) nguyên thỏa yêu cầu bài toán là (2; 2), (3; 5), (3; –1), (–1; 11),(– 1; – 7).