) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( {x;y}) thỏa mãn

2/5

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(\left( {{x^2} - x - 1} \right)\left( {{y^2} + xy - 9} \right) = 2x + 1\)

b) Cho \(n\) là số nguyên dương lẻ sao cho \({3^n} + {7^n}\) chia hết cho 11. Tìm số dư khi chia \({2^n} + {6^n} + {2023^n}\) cho 11.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Vì \(\left( {x;y} \right)\) nguyên dương nên từ điều kiện \(2x + 1 \vdots {x^2} - x - 1\)

\(2{x^2} + x \vdots {x^2} - x - 1\)

\( \Rightarrow 2{x^2} - 2x - 2 + 3x + 2 \vdots {x^2} - x - 1 \Rightarrow 3x + 2 \vdots {x^2} - x - 1\)

Từ đó suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 1 \vdots {x^2} - x - 1}\\{3x + 2 \vdots {x^2} - x - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6x + 3 \vdots {x^2} - x - 1}\\{6x + 3 \vdots {x^2} - x - 1}\end{array} \Rightarrow 1 \vdots {x^2} - x - 1} \right.\)

Suy ra \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - x - 1 = 1}\\{{x^2} - x - 1 = - 1}\end{array}} \right.\)

+) Với \({x^2} - x - 1 = 1 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = - 1\;\;\left( {loai} \right)}\end{array}} \right.\)

Từ \(x = 2 \Rightarrow \left( {{y^2} + 2y - 9} \right) = 5 \Leftrightarrow {\left( {y + 1} \right)^2} = 15\;\;\)(loại)

+ Với \({x^2} - x - 1 = - 1 \Leftrightarrow {x^2} - x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = 0\;\;\left( {loai} \right)}\end{array}} \right.\)

Từ \(x = 1 \Rightarrow - \left( {{y^2} + y - 9} \right) = 3 \Leftrightarrow {y^2} + y - 6 = 0 \Leftrightarrow \left( {y + 3} \right)\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = - 3\;\;\left( {loai} \right)}\\{y = 2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)

Vậy cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(\left( {{x^2} - x - 1} \right)\left( {{y^2} + xy - 9} \right) = 2x + 1\) là \(x;y) = \left( {1;2} \right).\)

b)

Ta có: \({3^n} + {8^n} + {7^n} + {4^n} \vdots 11\) (vì \(n\) lẻ)

\( \Rightarrow {4^n} + {8^n} \vdots 11 \Rightarrow {4^n}\left( {1 + {2^n}} \right) \vdots 11 \Rightarrow {2^n} + 1 \vdots 11\)

\(n = 10k + 5\;(k \in \mathbb{N}\)

Ta có \({6^n} = {6^{10k + 5}} = {\left( {{6^{10}}} \right)^k}{.6^5} \equiv - 1\left( {mod11} \right);{2023^n} \equiv - 1\left( {mod11} \right)\)

Suy ra \({2^n} + {6^n} + {2023^n} \equiv - 3 \equiv 8\left( {mod11} \right)\)

Vậy \({2^n} + {6^n} + {2023^n} \equiv 8\left( {mod11} \right)\)