Tìm tất cả bộ ba số tự nhiên lẻ liên tiếp, biết rằng cả ba số đều là số nguyên tố.

Gọi ba số tự nhiên lẻ liên tiếp là \(a,a + 2,a + 4\) \[\left( {a \in {\mathbb{N}^*}} \right)\]

Vì \(a\) là số nguyên tố lẻ nên ta xét các trường hợp sau:

+ Trường hợp 1: Với \(a = 3\) thì \[a + 2 = 3 + 2 = 5\] là số nguyên tố;

\[a + 4 = 3 + 4 = 7\;\] là số nguyên tố.

Vậy \(a = 3\) thỏa mãn và ba số nguyên tố lẻ liên tiếp là \[3;5;7\].

+ Trường hợp 2: Với \(a > 3\) thì \(a\) chỉ có một trong hai dạng: \(3k + 1\) hoặc \(3k + 2\)

• Nếu \(a = 3k + 1\) thì \[a + 2 = \left( {3k + 1} \right) + 2 = 3k + 3 = 3\left( {k + 1} \right)\] chia hết cho 3, mà \[a + 2 > 3\], suy ra \(a + 2\) là hợp số (loại).

• Nếu \(a = 3k + 2\) thì \[a + 4 = \left( {3k + 2} \right) + 4 = 3k + 6 = 3\left( {k + 2} \right)\] chia hết cho 3, mà \[a + 4 > 3\], suy ra \(a + 4\).là hợp số (loại).