Tìm tất cả 3 số nguyên tố (q; p; r) sao cho pqr = p + q + r + 160

Lời giải:

Không mất tính tổng quát giả sử p ≤ q ≤ r

Với p = 2q; 2qr = q + r + 162

⇔ 4qr − 2q − 2r = 324

⇔ 2q(2r − 1) − (2r − 1) = 325

⇔ (2q − 1)(2r − 1) = 5² . 13

3 ≤ 2q – 1 ≤ 2r – 1

⇒ 9(2q − 1)² ≤ (2r−1)(2q−1)

⇔ 9 ≤ (2q−1)² ≤ 325

⇔ 3 ≤ 2q – 1 ≤ 18

Do 2q - 1 là ước của 5².13 nên 2q - 1 ∈{5;13}

Nếu 2q – 1 = 5 ⇔ q = 3 ⇒ r = 33 (loại)

Nếu 2q – 1 = 13 ⇔ q = 7 ⇒ r = 13 (thỏa mãn)

pqr = p + q + r + 160

⇔ p(qr - 1) – q – r = 160

⇔ (qr - 1)(p - 1) + pr – 1 – q – r = 160

⇔ (qr - 1)(p - 1) + q(r - 1) - (r - 1) – 2 = 160

⇔ (qr - 1)(p - 1) + (q - 1)(r - 1) = 162

Nếu p lẻ ⇒ q, r  lẻ ⇒ (qr - 1)(p - 1)(r - 1) chia hết cho 4

mà 162 không chia hết cho 4 ⇒ Vô lý

Vậy bộ ba số nguyên tố cần tìm là (2;7;13) và các hoán vị