Tìm tập xác định D của hàm số y = \(\sqrt {5 + 2{{\cot }^2}x - \sin x} + \cot \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right)\).

16/26

D = \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)

D = \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)

D = \(\mathbb{R}\).

D = \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)

Giải thích

Đáp án đúng là: A

Hàm số xác định khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn đồng thời 5 + 2cot²x – sin x ≥ 0, \(\cot \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right)\) xác định và cot x xác định.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2{\cot ^2}x \ge 0\\ - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow 5 - \sin x \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow 5 + 2{\cot ^2}x - \sin x \ge 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)

\(\cot \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right)\) xác định ⇔ \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \frac{\pi }{2} + x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne - \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

cot x xác định ⇔ sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ, k ∈ ℤ.

Do đó hàm số xác định ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne - \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}\).