Hướng dẫn giải.

Cho hình vuông ABCD cạnh a, gọi I,K lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB,CD. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại điểm I lấy điểm S, sao cho tam giác SAB đều. a) Xác định và tính góc giữa đường thẳng SD với mặt phẳng (SAB). (ảnh 1)

a) Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot AB\,\,\,\\AD \bot SI\,\,\,\left( {SI \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AD \bot SA\).

\[ \Rightarrow SA\] là hình chiếu của \[SD\] lên mặt phẳng \[(SAB)\]

\[ \Rightarrow \]\(\left( {SD,(SAB)} \right) = \left( {SD,SA} \right) = \widehat {DSA} < 90^\circ \).

Vì \(SA = AD = a,SA \bot AD\) nên \[\Delta SAD\] vuông cân tại \[A\].

Vậy \[\left( {SD,\left( {SAB} \right)} \right) = \widehat {DSA} = 45^\circ \].

b) \[AB//CD \Rightarrow AB//(SCD) \Rightarrow d\left( {AB,SC} \right) = d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {I,\left( {SCD} \right)} \right)\]

Có \[\left. \begin{array}{l}CD \bot IK\,\,\,\left( {IK//AD,CD \bot AD} \right)\\CD \bot SI\,\,\,\left( {SI \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow CD \bot (SIK)\].

Hạ \(IM \bot SK\) tại \(M\).

Có \[\left. \begin{array}{l}CD \bot IM\,\,\,\left( {CD \bot \left( {SIK} \right)} \right)\\SK \bot IM\,\,\end{array} \right\} \Rightarrow IM \bot (SCD) \Rightarrow d(I,(SCD)) = IM\].

Vì \(\Delta SAB\) đều cạnh a nên \(SI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Có \(IK = AD = a\).

Xét \[\Delta SIK:\frac{1}{{I{M^2}}} = \frac{1}{{I{K^2}}} + \frac{1}{{I{S^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{7}{{3{a^2}}} \Rightarrow IM = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\].

Vậy \[d\left( {AB,SC} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\].

Tìm tập nghiệm S của phương trình 3^x = 2.