Tìm tập nghiệm phương trình sau: căn bậc hai {{x^2} - 4x - 1} - |2x + 1| = 1\)

Trường hợp 1: Với \(2x + 1 \ge 0\) hay \(x \ge  - \frac{1}{2}\), phương trình đã cho trở thành:

\(\sqrt {{x^2} - 4x - 1}  - (2x + 1) = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 4x - 1}  = 2x + 2\)(1)

Bình phương hai vế của phương trình (1), ta được:

\({x^2} - 4x - 1 = 4{x^2} + 8x + 4 \Rightarrow 3{x^2} + 12x + 5 = 0\)

\( \Rightarrow x = \frac{{ - 6 + \sqrt {21} }}{3}\) hoặc \(x = \frac{{ - 6 - \sqrt {21} }}{3}.\)

Mà \(x \ge  - \frac{1}{2}\) nên ta nhận \(x = \frac{{ - 6 + \sqrt {21} }}{3}.\)

Thay \(x = \frac{{ - 6 + \sqrt {21} }}{3}\) vào phương trình đã cho, ta thấy giá trị này thoả mãn.

Trường hợp 2: Với \(2x + 1 < 0\) hay \(x <  - \frac{1}{2}\), phương trình đã cho trở thành \(\sqrt {{x^2} - 4x - 1}  + 2x + 1 = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 4x - 1}  =  - 2x.\) (2)

Bình phương hai vế của phương trình (2), ta được:

\({x^2} - 4x - 1 = 4{x^2} \Rightarrow 3{x^2} + 4x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{{ - 1}}{3}\)hoặc \(x =  - 1.\)

Mà \(x <  - \frac{1}{2}\)nên ta nhận \(x =  - 1\).

Thay \(x =  - 1\) vào phương trình đã cho, ta thấy giá trị này thoả mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ {\frac{{ - 6 + \sqrt {21} }}{3}; - 1} \right\}\).