Tìm tập nghiệm của bất phương trình t a n 2 ( π 2 − x ) = 1 + s i n x s i n x

15/20

Tìm tập nghiệm của bất phương trình\[{\rm{ta}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}\left( {\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}} - {\rm{x}}} \right){\rm{ = }}\frac{{{\rm{1 + sinx}}}}{{{\rm{sinx}}}}\]

\[\left\{ {\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{6}}}{\rm{ + }}\frac{{{\rm{k2\pi }}}}{{\rm{3}}}{\rm{;}} - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{ + k2\pi ,}}\,\,{\rm{k}} \in \mathbb{Z}} \right\}\]

\[\left\{ { - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{ + k2\pi ,}}\,\,{\rm{k}} \in \mathbb{Z}} \right\}\]

\[\left\{ {\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{6}}}{\rm{ + }}\frac{{{\rm{k2\pi }}}}{{\rm{3}}}{\rm{, }}\,{\rm{k}} \in \mathbb{Z}} \right\}\]

\[\left\{ {\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{6}}}{\rm{ + k\pi , }}\,{\rm{k}} \in \mathbb{Z}} \right\}\]

Giải thích

Điều kiện :\[{\rm{sinx}} \ne 0 \Leftrightarrow {\rm{x}} \ne {\rm{k\pi ,}}\,\,{\rm{k}} \in \mathbb{Z}\]

\[{\rm{ta}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}\left( {\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}} - {\rm{x}}} \right){\rm{ = }}\frac{{{\rm{1 + sinx}}}}{{{\rm{sinx}}}} \Leftrightarrow {\rm{co}}{{\rm{t}}^{\rm{2}}}{\rm{x = }}\frac{{{\rm{1 + sinx}}}}{{{\rm{sinx}}}} \Leftrightarrow \frac{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{1 + sinx}}}}{{{\rm{sinx}}}}\]

\[ \Leftrightarrow {\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x = }}\left( {{\rm{1 + sinx}}} \right){\rm{sinx}} \Leftrightarrow {\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x}} - {\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x = sinx}} \Leftrightarrow {\rm{cos2x = sinx}}\]

\( \Leftrightarrow cos2x = cos\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x\,\,{\rm{ = }}\frac{\pi }{2} - x + k2\pi }\\{2x\,\,{\rm{ = }}x - \frac{\pi }{2} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\,\,{\rm{ = }}\frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}}\\{x\,\,{\rm{ = }} - \frac{\pi }{2} + k2\pi }\end{array} \Leftrightarrow {\rm{x = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{6}}}{\rm{ + }}\frac{{{\rm{k2\pi }}}}{{\rm{3}}}{\rm{, k}} \in \mathbb{Z}} \right.\)Đáp án cần chọn là: C