Tìm tập giá trị T của hàm số

21/30

Tìm tập giá trị T của hàm số \[f'\left( x \right) = \frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}\] với \[x \in [1;{e^2}].\]

\[{\rm{T}} = \left[ {0;e} \right]\]

\[{\rm{T}} = \left[ {\frac{1}{e};e} \right]\]

\[{\rm{T}} = \left[ {0;\frac{1}{e}} \right]\]

\[{\rm{T}} = \left[ { - \frac{1}{e};e} \right]\]

Giải thích

Hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn\[\left[ {1;{e^2}} \right]\]

Đạo hàm\[f'\left( x \right) = \frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}} \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - \ln x = 0 \Leftrightarrow x = e \in \left[ {1;{e^2}} \right]\]

Ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f(1) = 0}\\{f(e) = \frac{1}{e}}\\{f({e^2}) = \frac{2}{{{e^2}}}}\end{array}} \right.\)\[ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {1;{e^2}} \right]} f\left( x \right) = 0,\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1;{e^2}} \right]} f\left( x \right) = \frac{1}{e} \Rightarrow {\rm{T}} = \left[ {0;\frac{1}{e}} \right]\]

Đáp án cần chọn là: C