Tìm tập giá trị của tham số m để hàm số P(x) = (m^2 + 1)x^3 - 2m^2x^2 - 4x + m^2 + 1 có ba nghiệm phân biệt.

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải.

Vì \(P(x)\) là đa thức nên liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Dựa vào định lí giá trị trung gian (Bolzano). nếu \(P(a) \cdot P(b) < 0\) thì tồn tại \(c \in (a;b)\) sao cho \(P(c) = 0\). Tìm ba khoảng rời nhau mà trên mỗi khoảng hàm số đổi dấu, từ đó suy ra phương trình có ba nghiệm thực phân biệt.

Lời giải chi tiết.

\(P(x) = ({m^2} + 1){x^3} - 2{m^2}{x^2} - 4x + {m^2} + 1\). Vì \(P(x)\) là đa thức nên liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Ta xét dấu của \(P(x)\) tại vài điểm đặc biệt.

Khi \(x \to - \infty \) thì \(({m^2} + 1){x^3} \to - \infty \) (vì \({m^2} + 1 > 0\)), nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } P(x) = - \infty \).

\(P(0) = {m^2} + 1 > 0\).

\(P(1) = ({m^2} + 1) - 2{m^2} - 4 + ({m^2} + 1) = 2{m^2} + 2 - 2{m^2} - 4 = - 2 < 0\).

\(P(2) = 8({m^2} + 1) - 8{m^2} - 8 + ({m^2} + 1) = {m^2} + 1 > 0\).

Áp dụng định lí giá trị trung gian (Bolzano).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } P(x) = - \infty \) và \(P(0) > 0\) nên tồn tại \({x_1} \in ( - \infty ;0)\) sao cho \(P({x_1}) = 0\).

Vì \(P(0) > 0\) và \(P(1) < 0\) nên tồn tại \({x_2} \in (0;1)\) sao cho \(P({x_2}) = 0\).

Vì \(P(1) < 0\) và \(P(2) > 0\) nên tồn tại \({x_3} \in (1;2)\) sao cho \(P({x_3}) = 0\).

Ba khoảng \(( - \infty ;0)\), \((0;1)\), \((1;2)\) rời nhau nên \({x_1},{x_2},{x_3}\) phân biệt.

Kết luận. phương trình đã cho luôn có 3 nghiệm thực phân biệt với mọi \(m \in \mathbb{R}\).