Tìm số tự nhiên x để biểu thức sau là số nguyên tố:

Lời giải:

P = x⁴ + x² + 1

P = (x² + 1)² – x²

P = (x² – x + 1)(x² + x + 1)

Do x là số tự nhiên nên x² + x + 1 > x² - x + 1

Để x⁴ + x² + 1 là số nguyên tố thì: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x + 1 = 1\\{x^2} + x + 1 \in P\end{array} \right.\)

Suy ra: x² – x = 0

⇔\(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

Với x = 0 thì P = x⁴ + x² + 1 = 1 (loại)

Với x = 1 thì P = x⁴ + x² + 1 = 3 (chọn)

Vậy x = 1.