Đáp án 60.

Áp dụng tính chất mối liên hệ giữa ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của hai số:

ƯCLN(a, b) ∙ BCNN(a, b) = a ∙ b.

Thay các giá trị đã biết vào biểu thức, ta có:

5 ∙ BCNN(a, b) = 300

Suy ra BCNN(a, b) = 60.

🟋 Chú ý: Với hai số tự nhiên bất kì a, b khác 0, ta luôn có:

ƯCLN(a, b) ∙ BCNN(a, b) = a ∙ b.

Chứng minh:

Giả sử a và b được phân tích ra thừa số nguyên tố chung và riêng gồm các số nguyên tố p₁, p₂, ..., p_k.

Ta có thể viết:

\(a = p_1^{{a_1}} \cdot p_2^{{a_2}} \cdot ... \cdot p_k^{{a_k}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,b = p_1^{{b_1}} \cdot p_2^{{b_2}} \cdot ... \cdot p_k^{{b_k}}.\)

(với các số mũ a_i, b_i là các số tự nhiên)

Khi đó, ƯCLN(a, b) = \(p_1^{\min \left( {{a_1},{b_1}} \right)} \cdot p_2^{\min \left( {{a_2},{b_2}} \right)} \cdot ... \cdot p_k^{\min \left( {{a_k},{b_k}} \right)}\)

và BCNN(a, b) = \(p_1^{max\left( {{a_1},{b_1}} \right)} \cdot p_2^{max\left( {{a_2},{b_2}} \right)} \cdot ... \cdot p_k^{max\left( {{a_k},{b_k}} \right)}\)

Suy ra ƯCLN(a, b) ∙ BCNN(a, b)

\[ = \left( {p_1^{\min \left( {{a_1},{b_1}} \right)} \cdot p_2^{\min \left( {{a_2},{b_2}} \right)} \cdot ... \cdot p_k^{\min \left( {{a_k},{b_k}} \right)}} \right) \cdot \left( {p_1^{max\left( {{a_1},{b_1}} \right)} \cdot p_2^{max\left( {{a_2},{b_2}} \right)} \cdot ... \cdot p_k^{max\left( {{a_k},{b_k}} \right)}} \right)\]

\[ = p_1^{\min \left( {{a_1},{b_1}} \right) + max\left( {{a_1},{b_1}} \right)} \cdot p_2^{\min \left( {{a_2},{b_2}} \right) + max\left( {{a_2},{b_2}} \right)} \cdot ... \cdot p_k^{\min \left( {{a_k},{b_k}} \right) + max\left( {{a_k},{b_k}} \right)}\]

\[ = p_1^{{a_1} + {b_1}} \cdot p_2^{{a_2} + {b_2}} \cdot ... \cdot p_k^{{a_k} + {b_k}}\] (tổng của số nhỏ nhất và số lớn nhất giữa hai số luôn bằng tổng của hai số đó)

\[ = \left( {p_1^{{a_1}} \cdot p_2^{{a_2}} \cdot ... \cdot p_k^{{a_k}}} \right) \cdot \left( {p_1^{{b_1}} \cdot p_2^{{b_2}} \cdot ... \cdot p_k^{{b_k}}} \right)\]

= a ∙ b.

Vậy ƯCLN(a, b) ∙ BCNN(a, b) = a ∙ b.

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có ba chữ số, biết số đó chia hết cho cả 6, 8 và 15.