Tìm số tự nhiên n sao cho 7n+13 và 2n+4 là số nguyên tố cùng nhau

Vì 7n+13 và 2n+4 nguyên tố cùng nhau nên ta gọi d = UCLN(7n+13,2n+4)

=>7n+13⋮d và 2n+4⋮d

Có 7n+13⋮d => 2(7n+13)⋮d => 14n+26⋮d

2n+4⋮d => 7.(2n+14)⋮d => 14n+28⋮d

Suy ra (14n+28) – (14n+26)⋮d => 2⋮d => d∈{1;2}

Nếu d = 1 thì 7n+13 và 2n+4 là nguyên tố cùng nhau

Nếu d = 2 => 7n+13⋮2 => 7.(n+1)+6⋮2 vì 6⋮2 nên 7.(n+1)⋮2 mà UC(7,2) = 1 => n+1⋮2

Để n+1⋮2 thì n = 2k+1

Vậy để 7n+13 và 2n+4 là số nguyên tố cùng nhau thì n ≠ 2k+1