tìm số tự nhiên n sao cho 1 n^2017 n^2018

Lời giải:

Đặt A = 1 + n²⁰¹⁷ + n²⁰¹⁸

Với n = 1 ⇒ A = 3 là số nguyên tố (chọn)

Với n > 1ta có: 

A = 1 + n²⁰¹⁷ + n²⁰¹⁸

= n²⁰¹⁸ – n² + n²⁰¹⁷ – n + (n² + n + 1)

= n²(n²⁰¹⁶ – 1) + n(n²⁰¹⁶ – 1) + (n² + n + 1)

= (n²⁰¹⁶ – 1)(n² + n) + (n² + n + 1)

Mà : n²⁰¹⁶−1 = (n³)⁶⁷² – 1 = (n³ − 1)[(n³)⁶⁷¹ + (n³)⁶⁷⁰ + ... + n³ + 1] ⋮ n³ − 1

⇒ (n²⁰¹⁶−1) ⋮ (n² + n + 1)

⇒A ⋮ (n² + n + 1)

Ta lại có : 1 < (n² + n + 1) < Anên A là số nguyên tố

Vậy n = 1 là số nguyên dương duy nhất thỏa mãn điều kiện đề bài