Tìm số tự nhiên n để 5^n – 2^n chia hết cho 9

Xét các trường hợp:

TH1: Với n = 3k (k Î\(\mathbb{N}\)) ta có: 5ⁿ – 2ⁿ = 5^3k – 2^3k = 125^k – 8^k.

Vì 125 và 8 có cùng số dư khi chia cho 9 nên 125^k và 8^k có cùng số dư khi chia cho 9. Do đó, 125^k – 8^k chia hết cho 9.

TH2: Với n = 3k + 1 (k Î\(\mathbb{N}\)) ta có:

5ⁿ – 2ⁿ = 5^{3k + 1} – 2^{3k + 1}= 5.125^k – 2.8^k = 2(125^k – 8^k) + 3.125^k.

Ta thấy: 2(125^k – 8^k) chia hết cho 9, 3.125^k không chia hết cho 9 nên 5ⁿ – 2ⁿ không chia hết cho 9.

TH3: Với n = 3k + 2 (k Î\(\mathbb{N}\)) ta có:

5ⁿ – 2ⁿ = 5^{3k + 2} – 2^{3k + 2} = 25.125^k – 4.8^k = 4(125^k – 8^k) + 21.125^k.

Ta thấy: 4(125^k – 8^k) chia hết cho 9, 21.125^k không chia hết cho 9 nên 5ⁿ – 2ⁿ không chia hết cho 9.

Vậy với n = 3k (k Î\(\mathbb{N}\)) thì 5ⁿ – 2ⁿ chia hết cho 9.