Tìm số tự nhiên n để (4n +8):(3n + 2) (n lớn hơn hoặc bằng 1)

\(\left( {4n + 8} \right) \vdots \left( {3n + 2} \right)\) \(\left( {n \ge 1} \right)\)

Ta có: \(\left( {4n + 8} \right) \vdots \left( {3n + 2} \right)\), suy ra \(3\left( {4n + 8} \right) \vdots \left( {3n + 2} \right)\)

Ta có: \(\left( {4n + 8} \right) \vdots \left( {3n + 2} \right) = 12n + 24 = 4\left( {3n + 2} \right) + 16\)

Để \(3\left( {4n + 8} \right) \vdots \left( {3n + 2} \right)\) thì \(\left[ {4\left( {3n + 2} \right) + 16} \right] \vdots \left( {3n + 2} \right)\)

Mà \[4\left( {3n + 2} \right) \vdots \left( {3n + 2} \right)\] nên \(16 \vdots \left( {3n + 2} \right)\) hay \(\left( {3n + 2} \right)\) là ước của 16.

Ta có: ước của 16 là: \(1;2;4;8;16\).

Ta có bảng sau:

\(3n + 2\)	1	2	4	8	16
\(3n\)	\( - 1\) (loại)	0	2	6	14
\(n\)		0	\(\frac{2}{3}\) (loại)	2	\(\frac{{14}}{3}\) (loại)

Vì \(n \ge 1\) nên \(n = 2\) là giá trị cần tìm.