Tìm số tự nhiên n biết: 2^n + 3^n  5^n

Lời giải:

Ta có: 2ⁿ + 3ⁿ = 5ⁿ suy ra \({\left( {\frac{2}{5}} \right)^n} + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^n} = 1\)

Nếu n > 1 thì \({\left( {\frac{2}{5}} \right)^n} < \frac{2}{5};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\left( {\frac{3}{5}} \right)^n} < \frac{3}{5}\)

Nên \({\left( {\frac{2}{5}} \right)^n} + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^n} < \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = 1\) (loại)

Do đó n £ 1

Mà n là số tự nhiên nên n = 0 hoặc n = 1

Thử 2 giá trị 0, 1 thấy n = 1 thỏa mãn

Vậy n = 1