Tìm số thực a để hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số

35/234

Tìm số thực \(a\) để hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2ax + 3{a^2}}}{{1 + {a^6}}}\) và \(y = \frac{{{a^2} - ax}}{{1 + {a^6}}}\) có diện tích lớn nhất.

\(\frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}\).

\(\sqrt[3]{2}\).

Giải thích

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Ứng dụng tích phân tính diện tích

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là:

\(\frac{{{x^2} + 2ax + 3{a^2}}}{{1 + {a^6}}} = \frac{{{a^2} - ax}}{{1 + {a^6}}} \Leftrightarrow \left( {x + a} \right)\left( {x + 2a} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - a}\\{x = - 2a}\end{array}} \right.\).

Nếu \(a > 0\) thì \(S = \int\limits_{ - 2a}^{ - a} {\left| {\frac{{{x^2} + 3ax + 2{a^2}}}{{1 + {a^6}}}} \right|dx} = - \int\limits_{ - 2a}^a {\frac{{{x^2} + 3ax + 2{a^2}}}{{1 + {a^6}}}} dx = \frac{1}{6}.\frac{{{a^3}}}{{1 + {a^6}}}\)

Nếu \(a < 0\) thì \(S = \int\limits_{ - a}^{ - 2a} {\left| {\frac{{{x^2} + 3ax + 2{a^2}}}{{1 + {a^6}}}} \right|dx} = - \int\limits_{ - a}^{2a} {\frac{{{x^2} + 3ax + 2{a^2}}}{{1 + {a^6}}}dx} = - \frac{1}{6}.\frac{{{a^3}}}{{1 + {a^6}}}\)

Nếu \(a = 0\) thì \(S = 0\).

Khi đó với \(a \ne 0\) thì \(S = \frac{1}{6}.\frac{{|a{|^3}}}{{1 + |a{|^6}}} \le \frac{1}{6}.\frac{{|a{|^3}}}{{2|a{|^3}}} = \frac{1}{{12}}\).

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(a = \pm 1\).

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai hàm đã cho có diện tích lớn nhất khi \(a = 1\).