Tìm số nguyên tố ab (a > b > 0) với ab – ba là số chính phương

Lời giải:

Ta có: \(\overline {ab} - \overline {ba} = \left( {10a + b} \right) - \left( {10b + a} \right)\)

= 9a – 9b

= 9(a – b)

Do \(\overline {ab} - \overline {ba} \) là số chính phương nên 9(a – b) là số chính phương.

Mặt khác a và b đều là số có một chữ số nên 1 £ a – b < 9

Tuy nhiên, do \(\overline {ab} \) là một số nguyên tố nên b phải là một số lẻ. Vậy b = 1, 3, 7, 9.

Mặt khác, do 9(a – b) = 3²(a – b) là một số chính phương nên (a – b) cũng phải là một số chính phương. Do đó a – b = 1,4

Với a – b = 1 và b là một số lẻ, ta có số \(\overline {ab} \) là 21, 43, 87. Trong 3 số chỉ có 43 là số nguyên tố.

Với a – b = 4 và b là một số lẻ, ta có số \(\overline {ab} \) có thể là 51, 73. Cả 2 số đều là số nguyên tố.

Vậy số cần tìm là 43, 73.