Tìm số nguyên n bé nhất để F = n3 + 4n2 – 20n – 48 chia hết cho 125.

F = n³ + 4n² – 20n – 48

= n³ – 4n² + 8n² – 32n + 12n – 48

= (n – 4)n² + 8n (n – 4) + 12(n – 4)

= (n – 4)(n² + 8n + 12)

= (n – 4)(n + 2)(n + 6)

Vì (n – 4)(n + 2)(n + 6) chia hết cho 125, mà 125 chia hết cho 5 nên trong F tồn tại một thừa số chia hết cho 5

+ Nếu n + 2 chia hết cho 5 thì:

• n – 4 = n + 2 – 6, vì n + 2 chia hết cho 5, 6 không chia hết cho 5 nên n – 4 không chia hết cho 5

• n + 6 = n + 2 + 4, vì n + 2 chia hết cho 5, 4 không chia hết cho 5 nên n + 6 không chia hết cho 5

Do đó: Để F chia hết cho 125 thì n + 2 phải chia hết cho 125

⇒ n + 2 có giá trị bé nhất bằng 125 ⇒ n có giá trị bé nhất là 123

Tương tự ta xét tiếp hai trường hợp còn lại:

+ Nếu n – 4 chia hết cho 5 thì:

• n + 2 = n – 4 + 6 không chia hết cho 5

• n + 6 = n – 4 + 10 chia hết cho 5

Do đó: Để F chia hết cho 125 thì:

Hoặc n – 4 chia hết cho 25 và n + 6 chia hết cho 5

Hoặc n – 4 chia hết cho 5 và n + 6 chia hết cho 25

⇒ n bé nhất bằng 4

+ Nếu n + 6 chia hết cho 5 thì:

• n + 2 = n + 6 – 4 không chia hết cho 5

• n – 4 = n + 6 – 10 chia hết cho 5

Do đó: Để F chia hết cho 125 thì:

Hoặc n – 4 chia hết cho 25 và n + 6 chia hết cho 5

Hoặc n – 4 chia hết cho 5 và n + 6 chia hết cho 25

⇒ n bé nhất bằng 4.

Ta thấy qua ba trường hợp, 4 < 123 nên giá trị bé nhất của n để F chia hết cho 125 là n = 4

Vậy n = 4.