Tìm số nguyên dương n  bé nhất sao cho trong khai triển (x+1)^n có hai hệ số liên tiếp nhau có tỷ số là 7/15 (điền đáp án vào ô trống).

Đáp án đúng là "21"

Phương pháp giải

Khai triển Newton.

Lời giải

Ta có \({(1 + x)^n} = C_n^0 + C_n^1.x + C_n^2.{x^2} +  \ldots  + C_n^{n - 1}.{x^{n - 1}} + C_n^n{x^n}\).

Số hạng thứ \(k\) và \(k + 1\) theo khai triển trên là \(C_n^{k - 1},C_n^k\) với \(1 \le k \le n;k,n \in \mathbb{N}\).

Theo giả thiết ta có:

\(\frac{{C_n^{k - 1}}}{{C_n^k}} = \frac{7}{{15}} \Leftrightarrow \frac{k}{{n - k + 1}} = \frac{7}{{15}} \Leftrightarrow 15k = 7\left( {n - k + 1} \right) \Leftrightarrow 22k = 7\left( {n + 1} \right)\).

Do \(\left( {22;7} \right) = 1\) nên \(n + 1\) chia hết cho 22. Vậy \(n = 22m - 1,m \in \mathbb{N}\).

Vây số nguyên dương \(n\) bé nhất thỏa mãn đề bài là 21.