Tính chất của các số Cnk

a) Quan sát ba dòng đầu, hoàn thành tiếp hai dòng cuối theo mẫu:

(a + b)¹ = a + b =C10a+C10b

(a + b)² = a² + 2ab + b² =C20a2+C21ab+C20b2

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ =C30a3+C31a2b+C32ab2+C30b3

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ = ...

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵ = ...

Nhận xét rằng các hệ số khai triển của hai số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối luôn bằng nhau. Hãy so sánh, chẳng hạn, C41 và C43, C52 và C53. Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa Cnk và Cnn−k (0 ≤ k ≤ n).

b) Dựa vào kết quả của HĐ3a, ta có thể viết những hàng đầu của tam giác Pascal dưới dạng:

Media VietJack

(a + b)¹

(a + b)²

(a + b)³

(a + b)⁴

(a + b)⁵

Từ tính chất của tam giác Pascal, hãy so sánh C10+C11 và C21, C20+C21 và C31,... Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa Cn−1k−1+Cn−1k và Cnk.

Tìm số nguyên dương n sao cho C 0 n + 2C 1 n + 4C 2 n +...+ 2^nC n n = 243