Tìm số nguyên dương n bé nhất sao cho trong khai triển (x + 1)^n có hai hệ số liên tiếp nhau

Giải chi tiết

Ta có \({(1 + x)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + \cdots + C_n^{n - 1}{x^{n - 1}} + C_n^n{x^n}.\)

Số hạng thứ k và k+1 theo khai triển trên là \(C_n^{k - 1},\;C_n^k\quad {\rm{v?i }}1 \le k \le n,\;k,n \in \mathbb{N}.\)

Theo giả thiết ta có: \(\frac{{C_n^{k - 1}}}{{C_n^k}} = \frac{7}{{15}} \Leftrightarrow \frac{k}{{n - k + 1}} = \frac{7}{{15}} \Leftrightarrow 15k = 7(n - k + 1) \Leftrightarrow 22k = 7(n + 1).\)

Do (22;7)=1 nên n+1 chia hết cho 22.

Vậy\(n = 22m - 1,\;m \in \mathbb{N}\).

Vậy số nguyên dương n bé nhất thỏa mãn đề bài là 21.

Đáp án cần điền là: 21.