Tìm số nghiệm trên đoạn [0;pi/2] của phương trình (sin ^3)x + sin x cos x = 1 – (cos ^3)x

49/66

Tìm số nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) của phương trình \({\sin ^3}x + \sin x\cos x = 1 - {\cos ^3}x\).

\(2\).

\(4\).

\(3\).

\(1\).

Giải thích

Lời giải

Chọn A.

\(\begin{array}{l}{\sin ^3}x + \sin x\cos x = 1 - {\cos ^3}x \Leftrightarrow {\sin ^3}x + {\cos ^3}x = 1 - \sin x\cos x\\ & & & & \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 - \sin x\cos x} \right) = 1 - \sin x\cos x\\ & & & & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - \sin x\cos x = 0\\\sin x + \cos x = 1\end{array} \right.\\ & & & & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 2\,\,\left( {{\rm{VN}}} \right)\\\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.,\,\,k \in \mathbb{Z}\end{array}\)

Vì \(x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow x \in \left\{ {0;\frac{\pi }{2}} \right\}\).