Tìm số nghiệm của phương trình sin 2x − cos 3x = 0 trong đoạn x thuộc [0; pi/2].

22/22

Tìm số nghiệm của phương trình \(\sin 2x - \cos 3x = 0\) trong đoạn \(x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right].\)

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Biến đổi phương trình lượng giác đưa về cùng hàm số:

\({\rm{sin}}2x - {\rm{cos}}3x = 0 \Leftrightarrow {\rm{cos}}3x = {\rm{sin}}2x \Leftrightarrow {\rm{cos}}3x = {\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right)\).

Phương trình tương đương với hệ hai họ nghiệm:

(1) \(3x = \frac{\pi }{2} - 2x + k2\pi \Leftrightarrow 5x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{10}} + \frac{{k2\pi }}{5}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

(2) \(3x = - \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) + k2\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Chặn nghiệm trong đoạn \(x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) với \(k \in \mathbb{Z}\):

Từ họ nghiệm (1):

Với \(k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{{10}}\) (Thỏa mãn).

Với \(k = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi }{{10}} + \frac{{2\pi }}{5} = \frac{\pi }{2}\) (Thỏa mãn).

Từ họ nghiệm (2): Không tồn tại giá trị nguyên \(k\) nào cho nghiệm nằm trong đoạn yêu cầu.

Như vậy phương trình có tất cả là 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện bài toán cho.

Đáp số: 2.