Tìm số nghiệm của phương trình căn bậc hai của (8x^2 + 8x + 2) / (4x^2 − 1) = căn bậc hai của 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Điều kiện: x ≠ \(\frac{1}{2}\) và x ≠ \(\frac{{ - 1}}{2}\).

\(\frac{{\sqrt {8{{\rm{x}}^2} + 8{\rm{x}} + 2} }}{{4{{\rm{x}}^2} - 1}} = \sqrt 2 \)

\(\frac{{\sqrt {2\left( {{\rm{4}}{{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}} + 1} \right)} }}{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}} = \sqrt 2 \)

\(\frac{{\sqrt {2{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^2}} }}{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}} = \sqrt 2 \)

\(\frac{{\left| {2{\rm{x}} + 1} \right|\sqrt 2 }}{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}} = \sqrt 2 \)

\(\frac{{\left| {2{\rm{x}} + 1} \right|}}{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}} = 1\) (1).

Với x \( > \frac{{ - 1}}{2}\) thì |2x + 1| = 2x + 1, khi đó, phương trình (1) trở thành:

\(\frac{{2{\rm{x}} + 1}}{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}} = 1\)

\(\frac{1}{{2{\rm{x}} - 1}} = 1\)

2x – 1 = 1

x = 1 (thỏa mãn).

Với x \( < \frac{{ - 1}}{2}\) thì |2x + 1| = –(2x + 1), khi đó, phương trình (1) trở thành:

\(\frac{{ - \left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}}{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}} = 1\)

\(\frac{1}{{2{\rm{x}} - 1}} = - 1\)

2x – 1 = –1

x = 0 (không thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.