Tìm số hạng không chứa \(x\)trong khai triển của biểu thức

Điều kiện\(n \ge 3,\,n \in {\rm N}\)

Ta có \(C_n^2 + C_n^3 = 4n \Leftrightarrow C_{n + 1}^3 = 4n \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 1} \right)n\left( {n - 1} \right)}}{6} = 4n \Leftrightarrow {n^2} - 1 = 24 \Leftrightarrow n = 5\)

Khi đó \[P\left( x \right) = {\left( {1 + x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^5} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k{{\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)}^{5 - k}}{{\left( {1 + x} \right)}^k}}  = \sum\limits_{k = 0}^5 {\sum\limits_{i = 0}^k {C_5^kC_k^i} {{\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)}^{5 - k}}.{x^i}}  = \sum\limits_{k = 0}^5 {\sum\limits_{i = 0}^k {C_5^kC_k^i.{x^{2k + i - 10}}} } \]

Số hạng không chứa \(x\)ứng với \(2k + i - 10 = 0 \Rightarrow \left( {k;i} \right) \in \left\{ {\left( {5;0} \right);\left( {4;2} \right)} \right\}\)

Vậy số hạng không chứa \(x\)là: \(C_5^5.C_5^0 + C_5^4.C_4^2 = 31\).