Tìm số hạng không chứa biến x trong khai triển (x - 1/x)^(n - 7/2) biết x khác 0 và n thuộc Z^+ thỏa mãn An^2 - Cn^2 = 105

28/38

Tìm số hạng không chứa biến \[x\] trong khai triển \[{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^{\frac{{n - 7}}{2}}}\] biết \[x \ne 0\] và \[n \in {\mathbb{Z}^ + }\] thỏa mãn \[A_n^2 - C_n^2 = 105\]:

Không có số hạng nào thỏa mãn;

\[C_4^2\];

\[C_4^4.\frac{1}{{16}}\];

\[C_4^4.\frac{1}{8}\].

Giải thích

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Từ phương trình:

\[A_n^2 - C_n^2 = 105\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 105\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 105\]

\[ \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) - \frac{1}{2}n\left( {n - 1} \right) = 105\]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{2}n\left( {n - 1} \right) = 105\]

\[ \Leftrightarrow {n^2} - n - 210 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = - 14\\n = 15\left( {tmdk} \right)\end{array} \right.\]

Thay \[n = 15\] vào khai triển có:

\[{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^{\frac{{15 - 7}}{2}}} = {\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^4} = C_4^0.{x^4} + C_4^1.{x^3}.\frac{1}{x} + C_4^2.{x^2}.{\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + C_4^3.x.{\left( {\frac{1}{x}} \right)^3} + C_4^4.{\left( {\frac{1}{x}} \right)^4}\]

\[{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^4} = C_4^0.{x^4} + C_4^1.{x^2} + C_4^2 + C_4^3.\frac{1}{{{x^2}}} + C_4^4.\frac{1}{{{x^4}}}\].

Vậy số hạng không chứa biến \[x\] trong khai triển là \(C_4^2\).