Tìm số giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số (C) có hai điểm cực trị A, B sao cho diện tích tam giác ABC bằng 4, với C(1;4) (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án đúng là "4"

Phương pháp giải

Tìm cực trị thỏa mãn điều kiện bài toán

Lời giải

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

Đạo hàm \(y' = 3{x^2} - 6mx\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6mx = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 2m}\end{array}} \right.\)

Đồ thị có hai điểm cực trị khi \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt, khi \(m \ne 0\)

Tọa độ hai điểm cực trị là \(A\left( {0;4{m^2} - 2} \right);B\left( {2m; - 4{m^3} + 4{m^2} - 2} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2m; - 4{m^3}} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {4{m^2} + 16{m^6}}  = 2\left| m \right|\sqrt {1 + 4{m^4}} \).

Phương trình đường thẳng \(AB\) là: \(2{m^2}x - y - 4{m^2} + 2 = 0\)

Khoảng cách từ điểm \(C\) đến đường thẳng \(AB\) là: \(d\left( {C,AB} \right) = \frac{{\left| {6 - 2{m^2}} \right|}}{{\sqrt {1 + 4{m^4}} }}\).

Suy ra, diện tích tam giác \(ABC\) là: \(S = \frac{1}{2}.d\left( {C,AB} \right).AB = \left| {6m - 2{m^3}} \right|\).

Từ giả thiết suy ra: \({\rm{\;}}\left| {6m - 2{m^3}} \right| = 4 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m =  \pm 1}\\{m =  \pm 2}\end{array}} \right.\)