Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) - 1/ 3x +1 ln ( 3x+1) + 2^x + 2024

8/22

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{3x + 1}}\ln \left( {3x + 1} \right) + {2^x} + 2024\) với mọi \(x \in \left( { - \frac{1}{3}; + \infty } \right)\).

\(\frac{3}{2}{\ln ^2}\left( {3x + 1} \right) + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + 2024x + C\).

\(\frac{3}{2}{\ln ^2}\left( {3x + 1} \right) + {2^x}\ln 2 + 2024x + C\).

\(\frac{1}{6}{\ln ^2}\left( {3x + 1} \right) + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + 2024x + C\).

\(\frac{1}{6}{\ln ^2}\left( {3x + 1} \right) + {2^x}\ln 2 + 2024x + C\).

Giải thích

Ta có

\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left[ {\frac{1}{{3x + 1}}\ln \left( {3x + 1} \right) + {2^x} + 2024} \right]{\rm{d}}x} \)\( = \int {\frac{1}{{3x + 1}}\ln \left( {3x + 1} \right){\rm{d}}x} + \int {{2^x}{\rm{d}}x} + \int {2024{\rm{d}}x} \)\( = \frac{1}{3}\int {\ln \left( {3x + 1} \right){\rm{d}}\left[ {\ln \left( {3x + 1} \right)} \right]} + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + 2024x + C\)\( = \frac{1}{6}{\ln ^2}\left( {3x + 1} \right) + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + 2024x + C\).