Gọi biến cố \[A\] là: “Có mưa vào thứ hai”; biến cố \[B\] là: “Có mưa vào thứ ba”.

Từ giả thiết có \(P\left( A \right) = {x^2} \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 1 - {x^2}\); \(P\left( {B|A} \right) = \frac{1}{4}x\) và \(P\left( {B|\overline A } \right) = x\).

a) Sai. Ta có \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\). Suy ra \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)\).

Xác suất để mưa sẽ rơi vào cả thứ hai và thứ ba là \(P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) = {x^2} \cdot \frac{1}{4}x = \frac{{{x^3}}}{4}\).

b) Sai. Để khả năng trời sẽ có mưa vào cả thứ hai và thứ ba là \(25\% \) thì \(\frac{{{x^3}}}{4} = 25\% \Leftrightarrow x = 1\).

c) Sai. Xác suất để trời sẽ mưa vào thứ ba là

\(P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)\)\( = {x^2} \cdot \frac{1}{4}x + \left( {1 - {x^2}} \right) \cdot x\)\( = x - \frac{{3{x^3}}}{4}\).

d) Đúng. Điều kiện của biến \(0 \le x \le 1\).

Xét hàm số \[y = x - \frac{3}{4}{x^3}\] trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\). Ta có \[{y^\prime } = 1 - \frac{9}{4}{x^2};{\rm{ }}{y^\prime } = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{2}{3}\\x = - \frac{2}{3}(l)\end{array} \right.\].

\(y\left( 0 \right) = 0;{\rm{ }}y\left( {\frac{2}{3}} \right) = \frac{4}{9};{\rm{ }}y\left( 1 \right) = \frac{1}{4}.\) Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = y\left( {\frac{2}{3}} \right)\).

Như vậy, khi \(x = \frac{2}{3}\) thì xác suất trời sẽ mưa vào thứ ba là lớn nhất.

Theo công thức Bayes, xác suất để có mưa vào thứ hai biết trời mưa vào thứ ba là

\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{{x^2} \cdot \frac{1}{4}x}}{{x - \frac{3}{4}{x^3}}} = \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3}}}{{\frac{2}{3} - \frac{3}{4} \cdot {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^3}}} = \frac{1}{6}\).

Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos 3x .