Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x2 + y2 + z2 + xyz = 20

Lời giải:

Không mất tính tổng quát, giả sử x ≥ y ≥ z ≥ 1

Khi đó ta có: x² + y² + z² + xyz = 20 ≥ z³ + 3z²

suy ra z = 1 hoặc z = 2

Với z = 1:  

19 = xy + x² + y2 ≥ y² + y² + y² = 3y²

⇒ y = 1 hoặc y = 2

Với y = 1: x² + 1 + 1 + x = 20

⇔ x² + x – 18 = 0 không có nghiệm nguyên dương. 

Với y = 2: x² + 2² + 1² + 1.2.x = 20

⇔ x² + 2x − 15 = 0

⇔ (x − 3)(x + 5) = 0

⇒ x = 3 thỏa mãn. 

Ta có nghiệm là (1,2,3) và các hoán vị. 

Với z = 2: 

20 = 2xy + x² + y² + 4 ≥ 2y² + y² + y² = 4y²

⇒ y = 2

x² + 2² + 2² + 2.2.x = 20

⇔ x² + 4x−12=0

⇔ (x − 2)(x + 6) = 0

⇒ x = 2 thỏa mãn. 

Ta có nghiệm là (2,2,2).