Tìm nghiệm nguyên của phương trình: yz/x xz/y xy/z=3

Lời giải:

\(\frac{{xy}}{z} + \frac{{yz}}{x} + \frac{{xz}}{y} = 3\)

⇔\(\frac{{xyz}}{{{z^2}}} + \frac{{yzz}}{{{x^2}}} + \frac{{xzy}}{{{y^2}}} = 3\)

⇔\(xyz\left( {\frac{1}{{{z^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}}} \right) = 3\)

⇔ x²y² + y²z² + z²x² = 3xyz

Lại có: \[{x^2}{y^2} + {\rm{ }}{y^2}{z^2} + {\rm{ }}{z^2}{x^2} \ge 3\sqrt[3]{{{{\left( {xyz} \right)}^4}}} = 3xyz\sqrt[3]{{xyz}}\]

Suy ra: \[3xyz \ge 3xyz\sqrt[3]{{xyz}}\]

⇒\[1 \ge \sqrt[3]{{xyz}} \ge 0\]

Vì x, y, z nguyên nên xyz = 1

Vậy (x; y; z) là hoán vị của (1;1;1) hoặc (-1;-1;1)