Tìm nghiệm nguyên của phương trình y^2 = x (x+1)(x+7)(x + 8)

Hướng dẫn giải

 Ta có \[{y^2}\; = \;x\left( {x\; + \;1} \right)\left( {x\; + \;7} \right)\left( {x\; + \;8} \right)\; = \left( {{x^2} + 8x} \right)\left( {x + 8x + 7} \right)\]

Đặt \[t = {\rm{ }}{x^2}\; + {\rm{ }}8x\], ta có: 

\[{y^2}\; = \;t\left( {t + 7} \right) = {t^{2\;}} + 7t\]

\[4{y^2}\; = {t^2} + 28t + 49 - 49\]

\[{\left( {2t + 7} \right)^2}--4{y^2}\; = 49\]

\[\left( {2t + 7--2y} \right)\left( {2t + 7 + 2y} \right) = 49 = 7 \cdot 7 = \left( { - 7} \right) \cdot \left( { - 7} \right)\].

Từ đó ta có bảng sau:

\[2t + 7--2y\]	7	\( - 7\)
\[2t + 7 + 2y\]	7	\( - 7\)
\[t - y\]	0	\( - 7\)
\[t + y\]	0	\( - 7\)
\[t\]	0	\( - 7\)
\[y\]	0	0

Vậy nghiệm của phương trình là:\[\left( {--8\,;\;\,0} \right),\,\,\left( {0\,;\;\,0} \right)\].