Tìm nghiệm nguyên: 1 + x + x^2 + x^3 = y^3.

Lời giải:

Ta có 1 + x + x² + x³ = y³

Suy ra \[{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} + {x^3} = {y^3}\]

Do đó y³ > x³.

Xét hiệu:

y³ − (x + 2)³ = x³ + x² + x + 1 − x³ − 6x² − 12x − 8 

= −5x² − 11x − 7

\[ =  - 5{\left( {x + \frac{{11}}{{10}}} \right)^2} - \frac{{19}}{{20}} < 0\] với mọi x.

Suy ra y³ < (x + 2)³ 

Tóm lại x³ < y³ < (x + 2)³ 

Mà x; y nguyên nên y = x + 1.

Thế vào phương trình ban đầu, ta được:

1 + x + x² + x³ = x³ + 3x² + 3x + 1 

Suy ra 2x² + 2x = 0

2x(x + 1) = 0

x = 0 hoặc x + 1 = 0

x = 0 hoặc x = ‒1

Với x = 0, suy ra y = 1

Với x = ‒1, suy ra y = 0.

Vậy các nghiệm nguyên cần tìm là: (0; 1); (‒1; 0).