Tìm nghiệm nguyên: 1 + x + x2 + x^3 = y^3.

Ta có 1 + x + x² + x³ = y³

Suy ra \[{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} + {x^3} = {y^3}\]

Do đóy³>x³.

Xét hiệu:

y³−(x+2)³=x³+x²+x+1−x³−6x²−12x−8

=−5x²−11x−7

\[ = - 5{\left( {x + \frac{{11}}{{10}}} \right)^2} - \frac{{19}}{{20}} < 0\] với mọi x.

Suy ra y³<(x+2)³

Tóm lại x³<y³<(x+2)³

Mà x;y nguyên nên y = x + 1.

Thế vào phương trình ban đầu, ta được:

1+x+x²+x³=x³+3x²+3x+1

Suy ra 2x²+2x=0

2x(x + 1) = 0

x = 0 hoặc x + 1 = 0

x = 0 hoặc x = ‒1

Với x = 0, suy ra y = 1

Với x = ‒1, suy ra y = 0.

Vậy các nghiệm nguyên cần tìm là: (0; 1); (‒1; 0).