Tìm n thuộc N sao để: n^2003 + n^2002 là số nguyên tố. Giá trị của n là

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất: \({a^n} - 1 \vdots (a - 1)\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)

Lời giải

Ta có: \({n^{2003}} + {n^{2002}} + 1 = {n^2}\left( {{n^{2001}} - 1} \right) + n\left( {{n^{2001}} - 1} \right) + {n^2} + n + 1\).

Với \(n > 1\) ta có :

\({n^{2001}} - 1 = {\left( {{n^3}} \right)^{667}} - 1\) chia hết cho \({n^3} - 1\) nên chia hết cho \({n^2} + n + 1\)

Do đó : \({n^{2003}} + {n^{2002}} + 1:{n^2} + n + 1\) và \({n^2} + n + 1 > 1\) nên \({n^{2003}} + {n^{2002}} + 1\) là hợp số.

Với \(n = 1\) thì \({n^{2003}} + {n^{2002}} + 1 = 3\) là số nguyên tố.