Tìm n thuộc N để n^5 + 1 chia hết cho n ^3 +1

Với \(n \in \mathbb{N}\), ta có \({n^5} + 1 \vdots {n^3} + 1 \Leftrightarrow {n^2}\left( {{n^3} + 1} \right) - \left( {{n^2} - 1} \right) \vdots {n^3} + 1\)

\( \Leftrightarrow \left( {{n^2} - 1} \right) \vdots {n^3} + 1 \Leftrightarrow \left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right) \vdots \left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} - n + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow n - 1 \vdots {n^2} - n + 1\) (vì \(n + 1 \ne 0\))

\( \Rightarrow n\left( {n - 1} \right) \vdots {n^2} - n + 1 \Leftrightarrow \left( {{n^2} - n + 1} \right) - 1 \vdots {n^2} - n + 1\)

\( \Leftrightarrow 1 \vdots {n^2} - n + 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{n^2} - n + 1 = 1\\{n^2} - n + 1 =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 1\\n = 0\end{array} \right.\)

Thử lại ta thấy \(n = 0;\,{\rm{ }}n = 1\) thỏa mãn để \({n^5} + 1\) chia hết cho \({n^3} + 1\)

Vậy \(n = 0;\,{\rm{ }}n = 1.\)