Tìm n nguyên để các biểu thức sau có giá trị nguyên. a) 2/(n-1) b) (n-3)/(n-2)

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện: \(n - 1 \ne 0\), tức \(n \ne 1.\)

Với \(n \in \mathbb{Z},\) để \[\frac{2}{{n - 1}} \in \mathbb{Z}\] thì \[2\,\, \vdots \,\,\left( {n - 1} \right).\]

Suy ra \[n - 1 \in \]Ư\[\left( 2 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2} \right\}.\]

Ta có bảng sau:

Vậy \(n \in \left\{ {2;\,\,0;\,\,3;\,\, - 1} \right\}\) thì \(\frac{2}{{n - 1}} \in \mathbb{Z}.\)

b) Điều kiện: \(n - 2 \ne 0,\) tức là \(n \ne 2.\)

Ta có: \(\frac{{n - 3}}{{n - 2}} = \frac{{n - 2 - 1}}{{n - 2}} = 1 - \frac{1}{{n - 2}}.\)

Với \(n \in \mathbb{Z}\), để \(\frac{{n - 3}}{{n - 2}} \in \mathbb{Z}\) thì \[\frac{1}{{n - 2}} \in \mathbb{Z}\], do đó \[1\,\, \vdots \,\,\left( {n - 2} \right)\]

Suy ra \[n - 2 \in \]Ư\[\left( 1 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1} \right\}.\]

Ta có bảng sau:

Vậy \(n \in \left\{ {3;\,\,1} \right\}\) thì \(\frac{{n - 3}}{{n - 2}} \in \mathbb{Z}.\)

c) Với \(n \ne \frac{4}{3},\) đặt \[A = \frac{{3 - 2n}}{{3n - 4}}.\]

Khi đó \[3A = 3 \cdot \frac{{3 - 2n}}{{3n - 4}} = \frac{{9 - 6n}}{{3n - 4}} = \frac{{8 - 6n + 1}}{{3n - 4}} = \frac{{ - 2 \cdot \left( {3n - 4} \right) + 1}}{{3n - 4}} = - 2 - \frac{1}{{3n - 4}}.\]

Với \(n \in \mathbb{Z},\) để \(3A\) có giá trị nguyên thì \(1\,\, \vdots \,\,\left( {3n - 4} \right)\)

Hay \(3n - 4 \in \)Ư\(\left( 1 \right) = \left\{ {1; - 1} \right\}.\)

Ta có bảng sau:

Thử lại, với \(n = 1\) ta có \[A = \frac{{3 - 2 \cdot 1}}{{3 \cdot 1 - 4}} = \frac{1}{{ - 1}} = - 1 \in \mathbb{Z}.\]

Vậy \(n = 1.\)