Tìm n để n^2 – 2n + 2020 là một số chính phương

Lời giải:

Đặt n² – 2n + 2020 = a² với \(a \in {\mathbb{N}^*}\)

Suy ra (n – 1)² + 2019 = a²

Khi đó 2019 = (a – n + 1)(a + n – 1)

Với \(a \in {\mathbb{N}^*},n \in \mathbb{N}\)thì a + n – 1 > 0

Suy ra a – n + 1 > 0. Vậy a + n – 1 > a – n + 1 > 0

Mà tích của chúng bằng 2019 nên ta có các TH sau:

TH1: a + n – 1 = 2019; a – n + 1 = 1 nên n = 1010 (thỏa mãn)

TH2: a + n – 1 = 673, a – n + 1 = 3 nên n = 336