Tìm m để (C) cắt Ox tại hai điểm và tiếp tuyến tại hai điểm đó song song với nhau? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án đúng là "0"

Phương pháp giải

Xác định hệ số góc của hai tiếp tuyến tại giao điểm với trục \(Ox\)

Lời giải

Điều kiện xác định: \(x \ne \left\{ {\frac{m}{2}} \right\}\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(\frac{{{x^2} + 2x - m + 5}}{{2x - m}} = 0 \Rightarrow {x^2} + 2x - m + 5 = 0\) (1)

Để \(\left( {Cm} \right)\) cắt \(Ox\) tại hai điểm phân biệt \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {\frac{m}{2}} \right)}^2} + 2.\frac{m}{2} - m + 5 \ne 0}\\{{\rm{\Delta '}} > 0}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{m^2}}}{4} + m - m + 5 \ne 0}\\{1 - \left( { - m + 5} \right) > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{m^2}}}{4} + 5 \ne 0}\\{m > 4}\end{array} \Rightarrow m > 4} \right.} \right.\)

Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\) và \({x_2}\) thỏa mãn hệ thức Viet:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} =  - 2}\\{{x_1}.{x_2} =  - m + 5}\end{array}} \right.\) (*)

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( {{\rm{Cm}}} \right)\) tại \(x = {x_1}\) và \(x = {x_2}\) có dạng:

\(d:y = y'\left( {{x_1}} \right).\left( {x - {x_1}} \right) + y\left( {{x_1}} \right)\) và \({\rm{\Delta }}:y = y'\left( {{x_2}} \right).\left( {x - {x_2}} \right) + y\left( {{x_2}} \right)\)

Để hai tiếp tuyến song song với nhau \( \Rightarrow y'\left( {{x_1}} \right) = y'\left( {{x_2}} \right)\) (2)

\[ \Rightarrow \frac{{ - 2x_1^2 + 2m{x_1} - m - 10}}{{{{\left( {2{x_1} - m} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2x_2^2 + 2m{x_2} - m - 10}}{{{{\left( {2{x_2} - m} \right)}^2}}}\]

\[ \Leftrightarrow \left( { - 2x_1^2 + 2m{x_1} - m - 10} \right){\left( {2{x_2} - m} \right)^2} = \left( { - 2x_2^2 + 2m{x_2} - m - 10} \right){\left( {2{x_2} - m} \right)^2}\]

\[ \Leftrightarrow \left( {x_1^2 - x_2^2} \right)( - 6m - 40) + \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {2{m^3} - 4{m^2}} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left[ {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)( - 6m - 40) + 2{m^3} - 4{m^2}} \right] = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} - {x_2} = 0}\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)( - 6m - 40) + 2{m^3} - 4{m^2} = 0}\end{array}} \right.\]

Trường hợp 1: \({x_1} - {x_2} = 0\)

Kết hợp với hệ phương trình (*) ta có \(:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} =  - 2}\\{{x_1}.{x_2} =  - m + 5}\\{{x_1} - {x_2} = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} =  - 1}\\{{x_2} =  - 1}\\{ - m + 5 = 1}\end{array} \Rightarrow m = 4} \right.} \right.\) (loại)

Trường hợp 2:

\(\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( { - 6m - 40} \right) + 2{m^3} - 4{m^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {6m + 40} \right) + 2{m^3} - 4{m^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow 2{m^3} - 4{m^2} + 6m + 40 = 0\)

\( \Rightarrow m \approx  - 1,91\)

Mà \(m > 4\)

Vậy không có giá trị nào của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán